《めめちも:X:2024-07-24》…

jrf> 《めめちも:X:2024-07-24》  
https://x.com/mecimecimemeci/status/1816099453398614268
＞＞鉄緑会恋愛発展講座定期
ところでこれクソ問すぎる
＞第4問

Adam には Barbara と Carrol という2人の恋人がいる。ある日、Adam のところに恋人から手紙が届いたが、不幸なことに雨で差出人の名前が消えてしまっていた。幸いなんとか "ar" という文字だけは読み取ることができたが、さて、Adam が返事を出すとすればどちらの恋人に出すのが無難か、理由を付けて答えよ。ただし、雨で消えなかった可能性があるのは隣どうしの2文字であって、それらが残る可能性はいずれも同じとする。また、手紙が Barbara からくる確率と Carrol からくる確率はともに 1/2 とする。
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まず、数学外で答えると、どちらにも当たり障りない返事をするか、どちらにも返事をしないことが最適な戦略であると思われる。どちらかのみに返そうというのはリスク選好性が高い。

どちらかにしか返せないとして数学してみる。ベイズの定理(全確率の和の公式含む)を使う。事象 A を "ar" が残った事象とする。事象 B1 を Barbara が送った事象とする。事象 B2 を Carrol が送った事象とする。

さて、解法は２つほどあるように思う。一つは文字が消える確率を等しく q とする方法である。こちらを私は先に考えたが、その答えは後述する。

もう一つは ar が残る確率を p とし、B1 には ar が２つ含まれているので、P(A|B1) = 2p とし、B2 には ar が１つだけなので P(A|B2) = 1p とする。p < 1/2 でなければならない。

まず全確率の公式を使い。

P(A) = P(A|B1) * P(B1) + P(A|b2) * P(B2) = 2p * (1/2) + 1p * (1/2) = (3/2) * p

ベイズの定理を使い、

P(B1|A) = P(A|B1) * P(B1) / P(A) = 2p * (1/2) / ((3/2) * p) = 2/3
P(B2|A) = P(A|B2) * P(B2) / P(A) = 1p * (1/2) / ((3/2) * p) = 1/3

P(B1|A)/P(B2|A) = 2

ゆえに Barbara からきたほうが 2倍、もっともらしいので Barbara に送り返すべきとなる。


次に文字が消える確率を q として考察しよう。

P(A|B1) =　q * (1-q) * (1-q) * q * q * q * q + q * q * q * q * (1-q) * (1-q) * q = 2q^5 * (1-q)^2

P(A|B2) = q * (1-q) * (1-q) * q * q * q = q^4 * (1-q)^2

P(A) = P(A|B1) * P(B1) + P(A|B2) * P(B2) = (1/2) (2q^5 * (1-q)^2 + q^4 * (1-q)^2)

P(B1|A) = P(A|B1) * P(B1) / P(A) = (1/2) * (2q^5 * (1-q)^2) / P(A)
P(B2|A) = P(A|B2) * P(B2) / P(A) = (1/2) * (q^4 * (1-q)^2) / P(A)

P(B1|A)/P(B2|A) = 2q

つまり、q > 1/2 ならば、Barbara が送ったほうがもっともらしく、q < 1/2 ならば Carrol が送ったほうがもっともらしい。ただ、文字がほとんどが消える状況だと q > 1/2 のほうがもっともらしいと思われる。Barbara に送り返すべきであろう。

これで合っているのだろうか？ 合っている自信はない。orz