昨晩の夢の中で考えてた。y の x 乗根というとき y…

昨晩の夢の中で考えてた。y の x 乗根というとき y は必ず存在するんだろうか？
JRF 2015年4月26日

y の x 乗を Pow(y, x) で表すと、y の x 乗根は Pow(y, 1/x) と表せる。

JRF 2015年4月26日

y = g(z) という形のとき、常に Pow(g(z), 1/x) というものが考えられるのか？と疑問に思うようになった。

Pow(Pow(y, 1/x), x) = y ではあるが、例えば x = 2 のとき、y がマイナスなら虚数が途中出てくる。でも、コンピュータが虚数も「理解」するなら、問題はないとも言える。

JRF 2015年4月26日

もっと一般に書くと y の x 乗根を求めるというのは、solve_x(Pow(x, 3) = y) というコマンドを実行していると考えられる。

さらに一般化して f(solve_x(f(x) = y)) = y が言えるかを問いたい。

JRF 2015年4月26日

そもそも solve_x(f(x) = y) が、不完全性定理的に解けない…無限ループになることが solve の形によって不可避ということもあろう。でも、今回はそういうのは置いといて…。

JRF 2015年4月26日

solve_x(f(x) = g(z)) = G(z) と置いて、G(z) が「極限を取る手続き」としか得られないとすると、f と G が共振みたいなのを起こして、f(G(z)) が発散または振動してしまう場合もありうるんじゃないか。そういうときはどう考えたらいいんだろう？

複数解のうち並列に求めたどれかで合えばいいのか、それぞれ定義域で分けないとだめなのか？G(z) が確率的・モンテカルロ法的なアルゴリズムで y が確率的にあるポイントを指せばいいとかもできるんだろうか？

JRF 2015年4月26日

また、コンピュータが「虚数」みたいな Imaginary なものを内部で勝手に定義してしまって、f(solve_x(f(x) = y)) = y は特定の f に関して成り立つと答えを返したとしても、それは人がコントロールできていると言えるのか？

JRF 2015年4月26日

そもそもの疑問に戻って、f(x) = Pow(x, u) の段階で solve_x(Pow(x, u), g(z)) がおかしな挙動をすることもあるのではないか？

JRF 2015年4月26日

……。

つまるところ、要は逆関数に関する問題なわけで、この辺、すでにどっかに「解答」は転がってるんだろうな…。

JRF 2015年4月26日

……。

(このひとことには関係ないが、時事として、ネパールで大地震が起きた。)

《CNN.co.jp : ネパール地震　死傷者６５００人超、さらに増加の恐れも》
http://www.cnn.co.jp/world/35063736.html

JRF 2015年4月26日